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初一下册数学不等式(初中基本不等式有哪些)

一、初中基本不等式有哪些


初一下册数学不等式


基本不等式有:

1、三角不等式

三角不等式即在三角形中两边之和大于第三边,是平面几何不等式里最为基础的结论。广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会用这一不等式导出不等关系。

2、平均值不等式

Hn≤Gn≤An≤Qn被称为平均值不等式,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数,简记为“调几算方”。

3、二元均值不等式

二元均值不等式表示两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。公式为:a^2+b^2≥2ab;推广有:一般地,若a1,a2,a3,···,an,是正实数,则有均值不等式:

4、杨氏不等式

杨氏不等式又称Young不等式,Young不等式是加权算术-几何平均值不等式的特例,其一般形式为:假设a,b是非负实数,p>1,1/p+1/q=1,那么:

等号成立当且仅当a^p=b^q。

5、柯西不等式

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式(柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式),其一般形式为:

6、赫尔德不等式

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式,取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder)。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。设p>1,1/p+1/q=1,令a1,···,an和b1,···,bn是非负实数,则有:

扩展资料

基本不等式应用:

1、应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.

2、在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。

3、条件最值的求解通常有两种方法:

(1)一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;

(2)二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值。

参考资料来源:百度百科—不等式

二、初一数学不等式题目


初一下册数学不等式


1.2a一定大于a吗?为什么?

不一定,若A为负数则a>2a

2.若x>y,比较-(4x-6)与-(4y-6)的大小

x>y则4x-6>4y-6,所以-(4x-6)<-(4y-6)

3.设a=-2008分之2007,b=-2009分之2008,c=-2010分之2009,试比较a、b、c的大小关系

a=-2007/2008=-(2008-1)/2008=-1+1/2008

b=-2008/2009=-(2009-1)/2009=-1+1/2009

c=-2009/2010=-(2010-1)/2010=-1+1/2010

又因为1/2008>1/2009>1/2010,所以-1+1/2008>-1+1/2009>-1+1/2010

即a>b>c

4.某校把学生笔试、实践两项成绩分别按60%、40%比例计入总成绩,小明实践成绩为81分,若想总成绩不低于90分,则笔试成绩至少要多少分?

81*40%+x*60%>90,X>94

5.某公司需购进6台机器,现同时购甲、乙两种机器,耗资不超过34万元。其中,甲机器每台7万元,乙机器每台5万元.设购进甲机器x台,列出不等式,看看有几种购买方法。

30<7*x+5*(6-x)<=34

30<7x-5x+30<=34

0<2x<4,0<x<=2,有两种购买方法

6.已知关于x的不等式(3a-2b)x<a-4b的解集是x>-三分之二,求bx-a>0的解集。

由已知得3a-2b<0,3a<2b

x>(a-4b)/(3a-2b)=-2/3

解得:9a=16b,又因为3a-2b<0,16/3b-2b<0得到4/3b<0,即b<0

所以

bx-a>0

bx〉a

x<a/b=16/9b/b=16/9

bx-a>0的解集是x<16/9

7.列不等式解应用题

(1).某城市平均每天产生垃圾700吨,由甲、乙两个垃圾处理厂处理.已知甲厂每处理1吨垃圾的费用为10元,乙厂每处理1吨垃圾的费用为11元.如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元,问甲厂每天至少要处理垃圾多少吨?

设甲厂每天至少要处理垃圾X吨.则

x*10+11*(700-x)<=7370

x*10+7700-11x<=7370

-x<=-330

x>=330

所以甲厂每天至少要处理垃圾330吨

(2)小华家距离学校2.4千米,某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时,发现离到学校时间只有12分钟了.如果小华能按时赶到学校,那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少千米/时.

(2.4/2)/(12/60)〉=6米/时

三、初一下册数学书不等式与不等式组(不等式及其解集)

第8章一元一次不等式

----专题复习

本章小结

1、本章我们认识了不等式,研究了不等式的性质。学习了利用不等式的性质解一元一次不等式(组),在数轴上表示一元一次不等式的解集,并会利用数轴直观地得到一元一次不等式组的解集。

2、不等式的知识源于生活实际,我们要学会分析实际问题中量与量的不等关系,并抽象出不等式(组),利用得到的不等式(组)解决实际问题。

3、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似。它包括:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1这些步骤。解不等式时要根据实际题目的要求做到灵活安排,并合理选取解题步骤。需注意的是系数化为1时,如果不等式两边乘以或除以同一个正数,则不改变不符号方向;但在不等式两边乘以或除以同一个负数时,一定要改变不等号方向。

4、解一元一次不等式组时,先分别求得每个不等式的解集,再求出它们的公共部分。后者通常利用数轴或熟记四种基本情形,采取“同大取大,同小取小,大小小大取中间,大大小小是无解”的方法确定。

5、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来,不但可以加深我们对一元一次不等式(组)的解集的理解,也便于我们更直观地得到一元一次不等式的正等数解集特解问题和一元一次方程组的解集。

专题综合讲解

专题一利用不等式的性质进行不等式的变形

例1选择题

(1)如果-a<2,那么下列各式中正确的是()

A、a<-2 B、a>2 C、-a+1<3 D、-a-1>1

(2)若a>b,则下列不等式一定成立的是()

A、 B、 C、-a>-b D、a-b>0

(3)(2003·随州)若a<0,关于x的不等式ax+1>0的解集是()

A、x> B、x< C、x> D、x<

(4)若x是任意实数,则下列不等式中恒成立的是()

A、3x>2x B、3x2>2x2 C、3+x>2 D、3+x2>2

解:(1) C(2) D(3) D(4) D

点评:(1)解答本题的关键是对不等式基本性质的理解和掌握程度。在运用不等式三条基本性质求解后,再加以筛选。

(2)对有的选择题,如果直接求解困难或过繁,可用特殊值帮助筛选,以便减少答题时间。如(4)可取x=-1,0,分别淘汰A、C、B,故选D。

例2判断下列不等式的变形是否正确。

(1)由a<b得ac<bc(2)由x>y且m≠0得

(3)由x>y得xz2>yz2(4)由xz2>yz2得x>y

解:(1)不正确,C可能是零,也可能是负数,变形后不能确定大小关系。

(2)不正确。-m不一定是负数,变形后不能确定不等式的方向。

(3)不正确。Z可能是0。

(4)正确。由条件可知z2>0。

点评:准确理解不等式的性质是解题的关键。注意考虑问题要全面。尤其是要注意性质3的应用。

专题二解不等式或不等式组

例1不等式

解:小数化为分数,得,

去分母,得4(2x-1)-6(3x-5)-2(x+1)+3×5>0,

去括号,得8x-4-18x+30-2x-2+15>0,

合并同类项,得-12x+39>0,

移项,得-12x+39>0

系数化为1,得x<

点评:既含分母又有小数的不等式,可将小数化为分数,也可将分数化为小数,但后者有可能出现无限小数,会使运算答案不正确,常将小数全部化为分数后再解。

例2解不等式组

解:解不等式(1),得x<-3;解不等式(2),得x≥-4,

∴不等式组的解集为-4≤x<-3.

点评:在解不等式(2)时要注意去分母括号的正确使用,如0.2(x-3)-0.5(x+4)≤-1.4;本题也可先化小数系数为整数系数,如≤-14.

专题三求不等式(组)的特殊解

例1求不等式正的整数解。

解:去分母,得2(y+1)-3(y-1)≥y-1(注意不要忘记加括号)

去括号2y+2-3y+3≥y-1(注意变号)

移项、合并-2y≥-6

系数化为1,y≤3(此步注意改变不等号方向)

因为不大于3的正整数有1, 2, 3三个,

所以不等式的正整数解是1, 2, 3。

点评:要确定一个不等式的特殊解,首先确定不等式的解集范围,然后把此范围内的符合条件的数找出来即可。

例2求不等式组的非负整数解。

解:由不等式2x+1<3x+3得x>-2;由不等式得x≤5,所以原不等式组的解集是-2<x≤5,它的非负整数解为0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数。

点评:对解答的不等式(组)的解集,在数轴上表示出来,可彻底解决漏解现象。如本例中,将所得不等式组的解集在数轴上表示成如图,显然其非负整数解一目了解,为0, 1, 2, 3, 4, 5。

-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6

专题四用不等式解集的概念解决有关问题

例1已知不等式组与的解相同,求a的值.

解:可化为解不等式组得-2<x<1,而两不等式组的解相同,故-2<x<a-4。从而a-4=1,故a=5.

例2(2003·重庆市)已知关于x的不等式组无解,则a的取值范围是。

解:原不等式组可化为因为不等式组无解,所以x≤3,x>a没有公共部分,即a≥3。

例3若关于x的不等式(ax-5)>x-a的解都是不等式1-2x<3的解,求a的取值范围。

解:由不等式(ax-5)>x-a,得(a-2)x>5-2a;

由不等式1-2x<3,得x>-1;由题意得解得2<a≤3。

专题五不等式(组)与计算、估算、方程结合解决实际问题

方程和不等式的综合应用题是近几年中考常见题型,解这类问题的关键就是要弄清题中各量之间的关系,列出方程和不等式,从而求解。

例1(2003·黑龙江)某中学在防“非典”知识竞赛中,评出一等奖4人,二等奖6人,三等奖20人,学校决定给所有获奖学生各发一份奖品,同一等奖的奖品相同。

(1)若一等奖、二等奖、三等奖的奖品分别是喷壶、口罩和温度计,购买这三种奖品共计花费113元,其中购买喷壶的总钱数比购买口罩的总钱数多9元,而口罩单价比温度计的单价多2元,求喷壶、口罩和温度计的单价是多少元?

(2)若三种奖品的单价都是整数,且要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的2倍,二等奖奖品的单价是三等奖奖品单价的2倍,在总费用不少于90元而不到150元的前提下,购买一、二、三等奖奖品时,它们的单价有几种情况?分别求出每种情况下一、二、三等奖奖品的单价。

分析:本题以某中学预防“非典”知识竞赛这一活动为基本素材,编拟了一道方程与不等式珠联璧合的应用题。

解:(1)设喷壶和口罩的单价分别是y元和z元。

则解之得

∴z-2=2.5。

答:喷壶、口罩、温度计单价分别是9元、4.5元、2.5元。

(2)设三等奖奖品的单价为x元,则二等奖奖品单价为2x元、一等奖奖品单价为4x元,则90≤4×4x+6×2x+20x<150,

∴≤x<。又三种奖品单价都是整数,∴x=2或3。

当x=2时,2x=4,4x=8;当x=3时,2x=6,4x=12。

答:购买一、二、三等奖奖品时,它们的单价有两种情况:第一种情况:一、二、三等奖奖品的单价分别为8元、4元、2元;第二种情况:一、二、三等奖奖品的单价分别为12元、6元和3元。

点评:不等式(组)的应用很广,题型很多,与方程结合应用的题目较多。前面已举了大量例子,这里不再赘述。

例2哈市慧明中学为加强现代信息技术课教学,拟投资建一个初级计算机机房和一个高级计算机机房,每个计算机机房配备1台教师用机,若干台学生用机。其中初级机房教师用机每台8000元,学生用机每台3500元;高级机房教师用机每台11500元,学生用机每台7000元。已知两机房购买计算机的总钱数相等,且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元。则该校拟建的初级机房,高级机房各应配置多少台计算机?

分析:解这类题时,要在审题中抓住关键词语,并理解其含义,如“至少”,“至多”,“超过”,“大于”,“不大于”,“不小于”等,然后根据题意列出不等式组。

解:设该校拟建的初级机房配置x台计算机,高级机房配置y台计算机,根据题意,得

0.8+0.35(x-1)=1.15+0.7(y-1), x=2y,

20≤0.8+0.35(x-1)≤21,解得≤x≤,

20≤1.15+0.7(y-1)≤21.≤y≤.

∵ x、y均为整数,

∴ x=56, 58;y=28, 29.

答:该校拟建的初级、高级机房分别有计算机56台、28台或58台、29台。

点评:不等式组解出后,要根据实际问题的意义,从解集中找出符合题意的答案,解一般取正整数。

初一下册数学不等式和初中基本不等式有哪些的问题分享结束啦,以上的文章解决了您的问题吗?欢迎您下次再来哦!


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